フクの非日常

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

複雑ネットワーク (2)

複雑ネットワークを解析するための手法としてグラフ理論が使われています。グラフといってもピンと来なかったのですが、頂点vと頂点の間を結ぶ枝eの集合をもってグラフというそうです。たとえば、人間を頂点とすると、友達関係などが枝にあたります。グラフを作る上でルールを決めておきます。枝の長さは考慮しない(見た目の長さは遠く見えるが、1つの頂点の間なら同じ長さ)。枝が交差しても相互作用は及ぼさない。枝の向きは考慮しない。などなど、前提条件を決めた上でモデルを作り、そのネットワークモデルの特徴を検証していきます。

複雑ネットワークを検証する上で重要な3つの「量」があります。次数kと、平均頂点間距離L、そしてクラスター係数Cです。次数kは頂点から伸びている枝の数を指します。次数がどのような確率密度p(k)に従った分布をしているかが重要になります。p(k)が一定であれば、すべての人は同じ数の友好関係を持つ、という意味になります。現実のネットワークでは一部の人は交友関係が広く、そうでない大多数の人は交友関係が少ないという性質を持ちます。この様子を確率密度p(k)で表すと、ベキ則と呼ばれる分布を示します。

平均頂点間距離は、頂点viと頂点vjの距離。すなわち、到達するために必要な最小の枝の数、という意味になります。ネットワーク全体で、頂点間距離を平均したLですが、ネットワークの大きさに比べて、それほど大きくならない傾向があります。頂点の数nを無限大に発散させた場合、Lはlognに比例するか、それよりも小さな値に落ち着くそうです。ここで扱う平均頂点間距離は、どのオーダー(lognに比例)に収束するかを考えることが重要であります。

クラスター係数Cは内輪の繋がりの濃密さを示す数字です。頂点viと隣接するvj,vkを選んだとき、3点が三角形を結ぶように枝が伸びているかによってクラスター係数を計ります。クラスター係数の定義は様々で、三角形を作る場合もあれば、四角形で作る場合もあります(四角形の場合は自分も友達同士が別の共通の友達を持つ、という意味になる)。
クラスター係数Cの計算は、一般解はなくモデルによって工夫して計算する必要がある。平均頂点間距離Lと同じく、Cについてもn→∞としたときにどのようなオーダーの数になるかが知りたいポイントとなります。

現実世界のネットワークは小さいLと大きいCを持つ特徴があります。この特徴に合うようなネットワークのモデルを考えていくわけですね。スモールワールド・ネットワークモデルの提案によって、複雑ネットワークの研究は大きく飛躍したそうですが、まずはそれ以前の古典的なグラフから押さえていきたいと思います。

コメント


管理者にだけ表示を許可する
 

 

トラックバック

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。